Cho các số thực x,y thỏa mãn \(\left(x+1+\sqrt{x^2+2x+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+2}\right)\)=0 ,chứng minh rằng x+y=0
Cho x, y là các số thực thỏa mãn: \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\)
Chứng minh rằng x + y = 0
Bạn ơi hình như đề sai ạ
Bạn thử một cặp x,y vào sẽ thấy ạ
Theo mk nghĩ đề đúng thì chắc cách giải như zầy
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+\sqrt{1+x^2}=\frac{1}{y+\sqrt{1+y^2}}\\y+\sqrt{1+y^2}=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}+y=0\\y+\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+x^2}+x=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow2x+2y=0\Leftrightarrow x+y=0\)
bạn có thể lí giải rõ hơn đoạn tương đương đầu tiên ấy
Cho các số thực x, y thỏa mãn -4 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 16. Chứng minh rằng: \(x\sqrt{16-y}+\sqrt{y\left(16-x^2\right)}\) ≤ 16
Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
Đặt \(A=x\sqrt{16-y}+\sqrt{y\left(16-x^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow A^2=\left[x\sqrt{16-y}+\sqrt{y\left(16-x^2\right)}\right]^2\le\left(x^2+16-x^2\right)\left(16-y+y\right)\\ \Leftrightarrow A^2\le16\cdot16=256\\ \Leftrightarrow A\le16\\ A_{max}=16\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{16-x^2}=\dfrac{16-y}{y}\Leftrightarrow x^2y=256-16y-16x^2+x^2y\\ \Leftrightarrow16x^2+16y-256=0\\ \Leftrightarrow x^2+y-16=0\\ \Leftrightarrow x^2=16-y\Leftrightarrow x=\sqrt{16-y}\)
x,y là các số thực thỏa mãn đẳng thức : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\).Chứng minh x+y=0
\(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
Nhân hai vế của đẳng thức với: \(\sqrt{x^2+1-x}\)
Ta được: \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=\sqrt{x^2+1}-x\)
\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x\)
\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}\left(1\right)\)
Mặt khác ta có: \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
Nhân hai vế của đẳng thức với: \(\sqrt{y^2+1}-y\)
Ta được: \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)=\sqrt{y^2+1}-y\)
\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{y^2+1}-y\)
\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{y^2+1}-\sqrt{x^2+1}\left(2\right)\)
Từ: \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow x+y=0\left(đpcm\right)\)
Cho các số thực x,y thỏa mãn: \(\dfrac{x^2+y^2}{2}=y-2x\). Chứng minh rằng:
\(\left|\sqrt{2-2x}-\sqrt{4x+6y+20}\right|=3\sqrt{2}\)
Cho x,y là 2 số thực thỏa mãn\(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=0\), chứng minh rằng \(x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}=0\)
Cho x, y \(\in R\) thỏa mãn:
\(\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\)
Chứng minh rằng: \(x^3+y^3+3xy=1\)
Gt\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(x-\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\left(x-\sqrt{x^2+2}\right)\)
\(\Leftrightarrow-2\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\left(x-\sqrt{x^2+2}\right)\)
\(\Leftrightarrow x-\sqrt{x^2+2}+y-1+\sqrt{y^2-2y+3}=0\) (*)
\(\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)\left(y-1-\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\left(y-1-\sqrt{y^2-2y+3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2}\right).-2=2\left(y-1-\sqrt{y^2+2y+3}\right)\)
\(\Leftrightarrow y-1-\sqrt{y^2+2y+3}+x+\sqrt{x^2+2}=0\) (2*)
Cộng vế với vế của (*) và (2*) => \(2x+2y-2=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy=1\)
Ta có:`(x+sqrt{x^2+2})(sqrt{x^2+2}-x)=2`
`<=>sqrt{x^2+2}-x=y-1+sqrt{y^2-2y+3}`
`<=>sqrt{x^2+2}-sqrt{y^2-2y+3}=x+y-1(1)`
CMTT:`sqrt{y^2-2y+3}-(y-1)=x+sqrt{x^2+2}`
`<=>sqrt{y^2-2y+3}-y+1=x+sqrt{x^2+2}`
`<=>sqrt{y^2-2y+3}-sqrt{x^2+2}=x+y-1(2)`
Cộng từng vế (1)(2) ta có:
`2(x+y-1)=0`
`<=>x+y-1=0`
`<=>x+y=1`
`<=>(x+y)^3=1`
`<=>x^3+y^3+3xy(x+y)=1`
`<=>x^3+y^3+3xy=1`(do `x+y=1`)
cho các số thực x,y,z thỏa mãn \(\left(x-y +z\right)^2\)+\(\sqrt{y^4}\)+\(\left|1-z^3\right|\) \(\le\) 0
Chứng minh rằng \(x^{2023}\)+\(y^{2024}\)+\(z^{2025}\)=0
Lời giải:
Ta thấy, với mọi $x,y,z$ là số thực thì:
$(x-y+z)^2\geq 0$
$\sqrt{y^4}\geq 0$
$|1-z^3|\geq 0$
$\Rightarrow (x-y+z)^2+\sqrt{y^4}+|1-z^3|\geq 0$ với mọi $x,y,z$
Kết hợp $(x-y+z)^2+\sqrt{y^4}+|1-z^3|\leq 0$
$\Rightarrow (x-y+z)^2+\sqrt{y^4}+|1-z^3|=0$
Điều này xảy ra khi: $x-y+z=y^4=1-z^3=0$
$\Leftrightarrow y=0; z=1; x=-1$
cho các số thực x,y thỏa mãn \(\left(x+2+\sqrt{x^2+4x+5}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+2}\right)=1\).
Tính P=x+y
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+2=a\\y-1=b\end{matrix}\right.\)
\(\left(a+\sqrt{a^2+1}\right)\left(b+\sqrt{b^2+1}\right)=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+\sqrt{b^2+1}=\sqrt{a^2+1}-a\\a+\sqrt{a^2+1}=\sqrt{b^2+1}-b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+b+\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}=\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}-a-b\)
\(\Rightarrow a+b=0\)
\(\Rightarrow x+2+y-1=0\)
\(\Rightarrow x+y=-1\)
\(\sqrt{x^2+5x+4}\) hay \(\sqrt{x^2+4x+5}\) thế bạn
Lời giải:
ĐKĐB \(\Rightarrow (x+2-\sqrt{x^2+4x+5})(x+2+\sqrt{x^2+4x+5})(y-1+\sqrt{y^2-2y+2})=x+2-\sqrt{x^2+4x+5}\)
\(\Leftrightarrow -(y-1+\sqrt{y^2-2y+2})=x+2-\sqrt{x^2+4x+5}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2+4x+5}-\sqrt{y^2-2y+2}=x+y+1(*)\)
ĐKĐB \(\Rightarrow (x+2+\sqrt{x^2+4x+5})(y-1+\sqrt{y^2-2y+2})(y-1-\sqrt{y^2-2y+2})=y-1-\sqrt{y^2-2y+2}\)
\(\Leftrightarrow -(x+2+\sqrt{x^2+4x+5})=y-1-\sqrt{y^2-2y+2}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{y^2-2y+2}-\sqrt{x^2+4x+5}=x+y+1(**)\)
Lấy $(*)+(**)\Rightarrow x+y+1=0$
$\Leftrightarrow x+y=-1$
cho các số thực x,y,z thỏa mãn 0<=x,y,z<=3
tìm gtnn của A= \(\sqrt{x^2+y^2-2xy}+\sqrt{Y^2-z\left(z-2y\right)}+\sqrt{x^2+z\left(z-2x\right)}\)
Ta có :
\(A=\sqrt{\left(x-y\right)^2}+\sqrt{\left(y-z\right)^2}+\sqrt{\left(z-x\right)^2}\)
\(=\left|x-y\right|+\left|y-z\right|+\left|z-x\right|\)
không mất tính tổng quát, giả sử \(0\le z\le y\le x\le3\)
Khi đó : A = x - y + y - z + x - z = 2x - 2z
vì \(0\le z\le x\le3\)nên : \(2x\le6;-2z\le0\Rightarrow2x-2z\le6\)
\(\Rightarrow A\le6\)
Vậy GTNN của A là 6 khi x = 3 ; z = 0 và y thỏa mãn \(0\le y\le3\)và các hoán vị